Legge dei grandi numeri: cosa promette davvero

La Legge dei Grandi Numeri è uno dei risultati più citati della probabilità e, ahimè, uno dei più fraintesi.

Questa legge garantisce che se ripeti un esperimento casuale un numero molto grande di volte, la media dei risultati si avvicina sempre di più al valore atteso teorico. Lanci una moneta equilibrata mille volte e la proporzione di teste si avvicinerà a 0.5. Più lanci, più ci si avvicina.

Tale garanzia però non significa che i singoli risultati si correggano nel tempo. Se escono dieci croci di fila, la moneta non “deve” recuperare con altrettante teste. Ogni lancio è indipendente dal precedente: la moneta non ha memoria. Questo errore ha un nome preciso: si chiama fallacia del giocatore. La legge dei grandi numeri parla di medie su grandi numeri, non di singoli eventi futuri.

Non garantisce nemmeno che la convergenza sia rapida. Con variabili ad alta variabilità, servono campioni molto grandi prima che la media si stabilizzi davvero. Con pochi dati, la media campionaria può ancora essere lontana dal valore atteso.

Questa legge è il fondamento teorico della statistica frequentista che giustifica perché ha senso stimare parametri da campioni. Ma vale asintoticamente, non con qualche decina di osservazioni.

La Legge dei Grandi Numeri funziona davvero, ma solo se i numeri sono davvero grandi.