Il paradosso del compleanno: perché 23 persone bastano a sorprenderti

Entra in una stanza con altre 22 persone. Qual è la probabilità che almeno due di voi condividano la stessa data di compleanno? L’istinto dice: bassa. Siete in 23, i giorni dell’anno sono 365. Eppure la risposta matematica dice: circa il 50.7%, ossia la probabilità che accada una tale situazione è più alta di quella che la nostra intuizione potrebbe immaginare.

Ma perché l’intuizione sbaglia così tanto?

Quando pensiamo alla coincidenza, la immaginiamo sempre rispetto a noi. Quante probabilità che qualcuno in questa stanza sia nato il mio stesso giorno? Quelle sì che sono basse: circa il 6%. Ma il paradosso del compleanno fa una domanda diversa: quante sono le probabilità che due persone qualsiasi, tra tutte le persone presenti, condividano la stessa data di compleanno?

In questo caso, date 23 persone, le coppie possibili sono 253. Ognuna è un’opportunità di coincidenza. In pratica non stai confrontando il tuo compleanno con 22 date possibili, ma stai confrontando 253 coppie con 365 giorni. Ed in questo caso, il numero di possibili “collisioni” cresce molto più velocemente del numero di persone.

Il calcolo si fa ragionando al contrario. Invece di chiedersi quando due persone coincidono, si chiede: qual è la probabilità che nessuno coincida? La prima persona può essere nata in qualsiasi giorno. La seconda deve avere un compleanno diverso: 364 possibilità su 365. La terza deve evitare i compleanni delle prime due: 363 su 365. Si va avanti così, moltiplicando probabilità sempre più piccole. Il risultato — la probabilità che tutti abbiano compleanni diversi — crolla rapidamente. Quando il numero di persone è pari a 23, questa probabilità è già sotto il 50%. Quindi la probabilità opposta, ossia che almeno due soggetti compiano gli anni lo stesso giorno, supera il 50%. Con 70 persone si arriva al 99.9%.

Il nostro cervello ragiona in modo lineare. La probabilità, no.