Distribuzione t: perché Gosset aveva ragione a non fidarsi della normale

Quando si lavora con campioni grandi, la distribuzione normale funziona bene. Ma Gosset – ideatore del test t di Student – non aveva campioni grandi: aveva lotti di birra, qualche misurazione e il problema concreto di trarre conclusioni affidabili da pochi dati.

Il punto è questo: con campioni piccoli, stimare la variabilità dei dati introduce un’incertezza aggiuntiva. La distribuzione normale non la considera: essa assume di conoscere la varianza della popolazione, che nella pratica quasi mai si conosce. Gosset capì che questa assunzione, con campioni ridotti, portava a sottostimare l’incertezza e quindi a essere troppo sicuri dei propri risultati.

La distribuzione t che sviluppò è più cauta. Ha le code più pesanti rispetto alla normale, ossia assegna più probabilità agli eventi estremi, riflettendo l’incertezza aggiuntiva che deriva dall’avere pochi dati. Al crescere della dimensione del campione, le due distribuzioni si avvicinano fino a coincidere praticamente. Con trenta osservazioni o più, la differenza è già trascurabile.

Gosset non stava complicando le cose. Stava semplicemente dicendo la verità sui dati che aveva e sulla prudenza che richiedevano.

Con pochi dati, la distribuzione normale è ottimista. La distribuzione t è realista. E in statistica, il realismo vale più dell’ottimismo.