Probabilità classica: spazi campionari, eventi e il dado di Cardano

C’è un momento, mentre guardi un dado rotolare sul tavolo, in cui tutto sembra possibile. Potrebbe uscire qualsiasi numero: uno, due, tre, quattro, cinque, sei. Non sai quale. Nessuno lo sa. Eppure c’è qualcosa di stranamente ordinato in questo disordine: sai esattamente quante possibilità ci sono. Sei. Né una di più né una di meno. Dovrà uscire uno dei sei numeri.

L’intuizione che il caso possa avere una struttura, che l’incertezza possa essere misurata prima ancora che accada è il cuore della probabilità classica. Ed è un’idea che ha impiegato secoli a prendere forma, cominciando, come spesso accade, da qualcuno che amava giocare d’azzardo.

Gerolamo Cardano e il primo tentativo di misurare il caso

Gerolamo Cardano nacque a Pavia nel 1501 e fu una delle figure più straordinarie e contraddittorie del Rinascimento italiano. Matematico, medico, filosofo, astrologo e soprattutto giocatore d’azzardo incallito. Nella sua autobiografia scrisse senza falsa modestia:“Ho dilapidato contemporaneamente la mia reputazione, il mio tempo e il mio denaro.”Proprio il vizio del gioco lo spinse a fare qualcosa che nessuno aveva fatto prima con rigore: studiare i dadi dal punto di vista matematico.

Nel suoLiber de ludo aleae— letteralmente “Libro sui giochi d’azzardo” — scritto intorno agli anni Sessanta del Cinquecento ma pubblicato postumo solo nel 1663, Cardano pose una domanda apparentemente semplice: se lancio un dado, qual è la probabilità che esca un numero pari?

Il suo ragionamento fu rivoluzionario nella sua semplicità. Un dado ha sei facce. Tre di esse mostrano un numero pari (il due, il quattro, il sei). Quindi la probabilità è tre su sei, ossia una su due, il 50%. Cardano non aveva ancora la terminologia moderna né il simbolismo matematico che usiamo oggi. Ma aveva capito qualcosa di fondamentale: per calcolare la probabilità di un evento, bisogna contare quante volte quell’evento può verificarsi rispetto a tutte le possibilità disponibili. Era il primo abbozzo di quella che oggi chiamiamo definizione classica di probabilità.

Lo spazio campionario: mettere ordine nel possibile

Prima di calcolare qualsiasi probabilità, i matematici moderni fanno una cosa precisa: elencano o almeno immaginano tutto ciò che potrebbe accadere. Questo elenco ha un nome tecnico —spazio campionario— e rappresenta l’insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento aleatorio, cioè di un esperimento il cui esito non è determinato in anticipo.

Lanciare un dado a sei facce è un esperimento aleatorio, cioè soggetto al caso. Lo spazio campionario è dato dall’insieme {1, 2, 3, 4, 5, 6}: sei elementi, ciascuno dei quali rappresenta un possibile risultato. Lanciare una moneta è un esperimento aleatorio più semplice: lo spazio campionario è {testa, croce}, solo due elementi.

Ma gli spazi campionari possono diventare molto più complessi. Se lancio due dadi contemporaneamente, i risultati possibili sono tutte le coppie ordinate di numeri da 1 a 6: (1,1), (1,2), (1,3)… fino a (6,6). In totale: 36 combinazioni. Se voglio sapere la probabilità che la somma dei due dadi sia 7, devo prima costruire questo spazio campionario, poi contare quante coppie danno come somma 7. In questo caso le coppie che possono dare risultato 7 sono sei: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). La probabilità è quindi 6 su 36, ovvero 1 su 6.

La costruzione dello spazio campionario non è un formalismo vuoto. È il passaggio che rende possibile il calcolo della probabilità. Senza sapere cosa potrebbe accadere, non si può misurare quanto è probabile che accada qualcosa di specifico.

Gli eventi: sottoinsieme del possibile

Una volta costruito lo spazio campionario, si definiscono glieventi. Un evento è semplicemente un sottoinsieme dello spazio campionario: una collezione di risultati che ci interessa considerare insieme.

Se lancio un dado e mi chiedo “uscirà un numero pari?”, l’evento che sto considerando è {2, 4, 6}, quindi un sottoinsieme di {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se mi chiedo “uscirà un numero maggiore di 4?”, l’evento è {5, 6}, sempre sottoinsieme di {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Gli eventi possono essere semplici o complessi, e si possono combinare tra loro in modi precisi. L’evento “uscirà un numero pari oppure maggiore di 4” comprende tutti i risultati che soddisfano almeno una delle due condizioni: {2, 4, 5, 6}. L’evento “uscirà un numero pari e maggiore di 4” comprende solo i risultati che soddisfano entrambe le condizioni: {6}.

Questi due modi di combinare eventi — il “oppure” e il “e” — corrispondono a operazioni precise nella matematica degli insiemi, che conosciamo con il nome di unione e intersezione. Non è necessario conoscere questi termini per capire l’idea di fondo: il linguaggio degli eventi è un modo per parlare con precisione di ciò che ci interessa, prima ancora di calcolare quanto è probabile.

La definizione classica di probabilità

Messi insieme spazio campionario ed eventi, la definizione classica di probabilità è quasi immediata.

Se tutti i risultati possibili sono ugualmente probabili — come nel caso di un dado equilibrato o di una moneta non truccata — allora la probabilità di un evento si calcola facilmente. La formula è:

probabilità dell’evento = numero di risultati favorevoli / numero totale di risultati possibili

È la stessa intuizione di Cardano, espressa in forma generale. La probabilità che esca un numero pari con un dado è 3/6 = 1/2. Analogamente la probabilità che esca il 6 è 1/6. La probabilità che esca un numero minore di 3 è 2/6 = 1/3.

Questa definizione ha un nome preciso: si chiamadefinizione classicaodefinizione di Laplace, perché fu il matematico francese Pierre-Simon Laplace a formalizzarla in modo rigoroso nel suoEssai philosophique sur les probabilitésdel 1814.

C’è però un limite importante da tenere a mente: questa definizione funziona solo quando tutti i risultati sono ugualmente probabili. Un dado truccato — in cui il sei esce più spesso degli altri numeri perché ad esempio vi è un peso che fa sì che il dado cada più spesso sulla faccia opposta al sei — non rispetta questa condizione. In quel caso, la definizione classica non si applica e bisogna ricorrere ad altri approcci, come la frequenza empirica o la probabilità soggettiva bayesiana.

Quando contare diventa difficile: le prime sorprese

La probabilità classica sembra semplice. Conti i casi favorevoli, li dividi per il totale, hai la risposta. Ma già Cardano si accorse che contare non è sempre facile come sembra.

Uno dei problemi che lo appassionò fu questo: se lancio tre dadi, è più probabile che la somma sia 9 o che la somma sia 10? Istintivamente sembrano ugualmente probabili e per secoli, molti giocatori lo credevano davvero. Ma Cardano mostrò, elencando con pazienza tutte le combinazioni possibili, che le due probabilità sono diverse: ci sono 25 modi di ottenere la somma 10 e solo 21 modi di ottenere la somma 9, su un totale di 216 combinazioni possibili. La differenza è piccola, ma esiste, ed è reale.

Questo tipo di conteggio sistematico — enumerare tutte le combinazioni possibili per trovare quelle favorevoli — è la tecnica fondamentale della probabilità classica. Ed è anche la porta d’ingresso verso due capitoli importanti della matematica combinatoria: le permutazioni e le combinazioni, strumenti sviluppati proprio per contare in modo efficiente quando le possibilità diventano troppo numerose per essere elencate una per una.

Il dado come modello del mondo

C’è qualcosa di filosoficamente bello nell’idea che il dado sia diventato lo strumento con cui l’umanità ha iniziato a ragionare sul caso. Un oggetto semplice, simmetrico, con un numero fisso di facce, abbastanza ordinato da essere studiato, abbastanza imprevedibile da non annoiare mai.

Il dado di Cardano non era solo un giocattolo. Era un modello: un modo per isolare e studiare l’incertezza in un ambiente controllato, prima di applicare gli stessi strumenti a situazioni molto più complesse come le malattie, i mercati finanziari, i fenomeni climatici, le decisioni politiche.

Ogni volta che costruiamo uno spazio campionario, stiamo facendo esattamente quello che faceva Cardano: mettere ordine nel possibile prima di misurare il probabile. La matematica non elimina l’incertezza del dado perchè non può sapere in anticipo quale faccia uscirà. Ma può dire, con precisione assoluta, quanto è probabile ciascuna faccia. E questo, in un mondo incerto, non è poco.

Conoscere tutte le possibilità non significa controllare il caso. Significa capirlo.E capire il caso è il primo passo per non lasciarsene ingannare.