Cos’è un’equazione: una formula o una domanda?

C’è un momento preciso in cui la matematica smette di sembrare familiare. Di solito accade quando sul foglio compare una lettera al posto di un numero. Fino a quel momento la matematica si presentava come un insieme di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, insomma operazioni concrete di cui è facile capire l’utilità nella vita quotidiana. Poi arriva la x, e improvvisamente sembra che le regole del gioco cambino. La matematica si arricchisce di lettere misteriose che fanno perdere il contatto con la realtà.

Cos’è dunque questa$x$? È davvero un simbolo misterioso da guardare con preoccupazione? Ebbene, la risposta è no: le regole del gioco non sono cambiate e la x è solo un numero, uno dei tanti, di cui ancora non conosci il valore. E il gioco è proprio scoprirlo.

Il simbolo x

In matematica usiamo tanti simboli: una sfilza di segni che servono a descrivere il mondo in modo preciso e universale. Il segno di uguale, il segno di diverso, il più, il meno, il per, il diviso — non sono altro che notazioni per esprimere nel linguaggio matematico qualcosa che altrimenti richiederebbe molte parole. Tra i simboli più noti c’è la$x$. Insieme a$y$,$z$e altre lettere, la$x$rappresenta l’incognita, ossia ciò che non sappiamo e che vogliamo scoprire. È una compagna di viaggio di chiunque si avvicini alla matematica: che tu la incontri per la prima volta al liceo o che ti avventuri alla scoperta delle profondità dell’astronomia, la x compare sempre.

Un’equazione è una domanda travestita da formula.

Dunque a cosa serve questa$x$? Vediamola in azione per capire. Consideriamo un’equazione:$2+x=5$. A vederla così sembra proprio una formula magica, un qualcosa che forse serve per calcolare.

Ma no, abbandona i panni del mago: questa è semplicemente una domanda: quale numero, sommato a$2$, dà come risultato$5$? La risposta, sono sicura l’hai già data da te, è$3$. E’ una risposta che conosci ancora prima di aver scritto una sola riga di svolgimento. Dunque l’equazione non ha fatto nulla di magico: ha solo dato una forma precisa a una domanda che avresti potuto fare anche nella tua lingua.

Un’equazione è un modo per scrivere una domanda in linguaggio matematico, in modo che la risposta possa essere trovata con regole precise, senza ambiguità, senza dipendere da chi la legge.

Le equazioni che fai già senza saperlo

Sebbene possa sembrare strano, nella vita quotidiana usiamo equazioni di continuo, senza saperlo, senza scriverle, senza chiamarle con questo nome. Pensa a quante domande che ti fai ogni giorno hanno esattamente la forma di un’equazione.

Sei al bar con tre amici. Il conto totale è$12$euro e avete pagato tutti la stessa cifra. Quanto ha pagato ciascuno? Stai risolvendo$4 \cdot x = 12$, e la risposta —$3$euro — la trovi in un secondo, quasi senza pensarci. Non hai scritto nessuna equazione sul tovagliolo, ma hai fatto esattamente quello che fa la matematica: hai cercato il numero ignoto partendo da quello che sapevi.

Oppure: sai che per arrivare a scuola in bici ci vuole il doppio del tempo che ci vuole in macchina. In macchina ci vogliono 10 minuti. Quanto tempo ci vuole in bici? Stai risolvendo$x= 2\cdot 10$. Risposta:$20$minuti. Equazione risolta, senza mai averla scritta.

La matematica non ha inventato le equazioni. Ha inventato un modo per scriverle, risolverle e generalizzarle, anche quando la risposta non è così immediata.

Cosa significa risolvere un’equazione

Cosa significa allora risolvere un’equazione? La risposta, da matematici, è questa: trovare il valore di x che rende vera l’uguaglianza. Non un valore qualsiasi, ma proprio quello, o quelli, che funzionano.

Pensa a una bilancia. Sul piatto sinistro hai$2x+3$. Sul piatto destro hai$11$. La bilancia è perfettamente in equilibrio: i due piatti pesano uguale. La tua missione — dovesse sembrarti un gioco, non sbagli — è scoprire quanto pesa$x$, cioè quale valore deve avere perché quell’equilibrio regga.

Qui entra in gioco la regola fondamentale delle equazioni, quella che vale sempre e che conviene tatuarsi sulla mano prima di un’interrogazione: quello che fai su un piatto devi farlo anche sull’altro. Se togli$3$dal piatto sinistro, togli$3$anche dal destro. Se dividi il piatto sinistro per$2$, dividi anche il destro per$2$. L’equilibrio non si può spezzare e, se lo spezzi, l’equazione non è più un’equazione.

Seguendo questa regola,$2x+3=11$si trasforma passo dopo passo: togli$3$da entrambi i lati e ottieni$2x=8$; dividi entrambi i lati per$2$e ottieni$x=4$. Fatto. Hai trovato il numero che cercavi. E puoi verificarlo subito:$2\cdot4+3= 11$. La bilancia è ancora in equilibrio. Funziona.

Perché le lettere non devono spaventare

Ora che abbiamo capito cos’è davvero un’equazione, torniamo alle lettere e a perché non bisogna temerle.

La comparsa delle lettere al posto dei numeri è il salto che spaventa di più: che avvenga nelle espressioni letterali, grandi nemiche di chi si avvicina per la prima volta all’algebra, o che si affronti risolvendo un’equazione, vedere una lettera al posto di un numero disorienta. Sembra un segnale che le cose si siano complicate. In realtà è l’opposto: la lettera è lì proprio perché semplifica.

Senza la$x$, per scrivere la domanda «quale numero sommato a$2$fa$5$?» dovresti usare molte parole. Con la$x$, la scrivi in tre simboli:$2+x=5$. È più corto, più preciso, più facile da manipolare. La lettera non aggiunge complessità, anzi la riduce.

C’è poi un secondo motivo per cui le lettere sono preziose. Un’equazione con una lettera non vale solo per una situazione specifica: vale per tutte le situazioni che hanno quella forma. Quando scrivi distanza = velocità · tempo, stai dicendo qualcosa che funziona per una bicicletta, per un’automobile, per un aereo — per qualunque cosa si muova a velocità costante. La lettera trasforma una risposta particolare in una regola generale. Ed è proprio questo il potere della matematica: non rispondere a una domanda, ma rispondere a tutte le domande che hanno la stessa forma.

L’equazione come strumento, non come ostacolo

C’è un modo sbagliato di avvicinarsi alle equazioni, che purtroppo è molto diffuso: vederle come ostacoli da superare, procedure da eseguire meccanicamente per arrivare a un numero e passare all’esercizio successivo.

C’è un modo molto più utile: vederle come strumenti per fare domande precise. Ogni volta che ti trovi davanti a una situazione in cui conosci alcune cose e ne vuoi scoprire un’altra, puoi tradurla in un’equazione. E una volta che l’hai scritta, hai in mano uno strumento potente: le regole della matematica ti permettono di manipolarla, semplificarla, arrivare alla risposta in modo sistematico, senza dover indovinare.

La$x$non è il problema. È la risposta che stai cercando. E cercare risposte, in fondo, è quello che fa la matematica e quello che fai tu ogni volta che ti fai una domanda sul mondo.

Le domande più belle della matematica hanno sempre avuto una lettera al posto della risposta.Non perché la risposta fosse difficile da trovare, ma perché la lettera permetteva di fare la domanda in modo preciso. Impara a leggere le equazioni come domande, e la$x$non ti spaventerà più. Anzi, inizierai a chiederti: cosa sto cercando questa volta?