I numeri che non esistevano: dai naturali agli interi

Immagina di avere cinque mele e di doverle dare a qualcuno che te ne chiede otto. Quante te ne mancano? Tre. Facile. Ma se ti chiedessero di scrivere quel “mancano tre” come un numero, cosa scriveresti?

Per migliaia di anni, nessun matematico al mondo avrebbe saputo risponderti. Non perché fossero poco intelligenti, anzi, costruivano piramidi, calcolavano eclissi, navigavano oceani. Semplicemente, per loro un numero era qualcosa che si poteva contare, toccare, mettere in un cesto. Un numero negativo non esisteva. Era un’assurdità, come chiedere di dipingere il silenzio.

Eppure oggi sai benissimo cosa significa −3. Allora qualcosa è cambiato. E quella storia di cambiamento è una delle più affascinanti che la matematica abbia mai prodotto.

Tutto inizia con i numeri naturali

I primi numeri che l’uomo ha usato sono inumeri naturali: 1, 2, 3, 4, e così via. Li chiamiamo naturali proprio perché nascono in modo spontaneo, dal bisogno concreto di contare cose reali come pecore, giorni, sacchi di grano, soldati in un esercito.

Le prime tracce di conteggio risalgono a circa quarantamila anni fa: ossa incise con tacche regolari, trovate in Africa e in Europa. Non erano ancora numeri nel senso moderno della parola, ma erano segni che rappresentavano quantità. L’essere umano aveva già capito qualcosa di fondamentale: che alcune cose si ripetono, e che quelle ripetizioni si possono registrare.

I sistemi di numerazione si sono poi evoluti in modo indipendente in molte civiltà quali quella dei sumeri in Mesopotamia, degli egizi, dei cinesi o dei maya. Ognuno con simboli diversi, ma tutti con la stessa idea di fondo: un numero è qualcosa che si conta. Qualcosa che esiste.

Per secoli i numeri naturali sono stati abbastanza. Se vuoi contare quello che hai, funzionano benissimo. Puoi sommare, puoi moltiplicare. Ma a un certo punto l’umanità ha iniziato a fare qualcosa di diverso: non solo contare quello che c’è, maragionare su quello che manca.

Il problema della sottrazione

La somma è generosa: puoi sempre aggiungere. La sottrazione invece è esigente: non sempre puoi togliere. Ad esempio: 3 − 1 = 2 è perfetto. 3 − 3 = 0 è un po’ strano, ma ci siamo. Ma che dire di 3 − 5 = ?

Qui i numeri naturali si fermano. Non c’è risposta. Il sistema si inceppa, come un ingranaggio a cui manca un pezzo.

I matematici dell’antichità — greci, egizi, babilonesi — risolvevano il problema semplicemente non ponendosi mai questa domanda. Se una sottrazione dava un risultato “impossibile”, significava che il problema era mal posto. Sottrarre una quantità maggiore da una minore non aveva senso, così come non ha senso chiedere quanti giorni mancano a un evento che è già passato. Il passato non ha durata futura: è finito.

Ma i mercanti medievali non potevano permettersi questo lusso filosofico. Nei registri contabili, i debiti erano reali quanto i crediti. Un mercante che doveva cento fiorini e ne aveva solo sessanta non poteva scrivere “problema mal posto” nel suo libro mastro. Aveva bisogno di un modo per scrivere quel meno quaranta e quel modo, ancora, non esisteva.

La matematica avanza per due ragioni: per eleganza astratta, nel regno della matematica pura, o per necessità concreta. Per gli insiemi numerici è sempre stata la seconda: ogni volta che il mondo ha chiesto una risposta che i numeri esistenti non potevano dare, i matematici ne hanno inventati di nuovi.

L’invenzione (lenta) del numero negativo

I primi a usare qualcosa che assomigliava ai numeri negativi furono i matematici indiani, intorno al VII secolo d.C. Brahmagupta, astronomo e matematico vissuto tra il 598 e il 668 d.C. circa, li chiamava “debiti” in opposizione ai “beni”. Aveva capito che si potevano sommare, sottrarre, moltiplicare. Per fare ciò aveva scritto regole precise: un debito sommato a un altro debito dà un debito più grande, un debito moltiplicato per un bene dà un debito, un debito moltiplicato per un debito dà un bene.

Quelle regole ci sembrano ovvie adesso. Allora erano una rivoluzione silenziosa, scritta nei margini di trattati astronomici che pochi leggevano.

Nel mondo islamico medievale, matematici come Al-Khwarizmi — considerato il padre dell’algebra, termine che deriva dal titolo della sua opera principaleAl-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr waʾl-muqābala, mentre dal suo nome latinizzato deriva la parolaalgoritmo— lavoravano con quantità “mancanti”, anche se non le chiamavano ancora numeri negativi in senso formale. Usavano il linguaggio del debito e del vuoto, ma le operazioni sottostanti erano già quelle che conosciamo.

In Europa la resistenza è durata molto più a lungo. Luca Pacioli, il matematico italiano che nel 1494 scrisse la prima trattazione sistematica di matematica commerciale, accettava i numeri negativi nelle equazioni solo come strumento di calcolo intermedio, ma non come risultati validi. Per lui, un numero negativo poteva comparire nei passaggi di un problema, ma la risposta finale doveva essere sempre positiva. Altrimenti il problema non aveva soluzione.

Blaise Pascal — uno dei matematici più brillanti del Seicento, inventore tra l’altro della prima calcolatrice meccanica — sosteneva che sottrarre 4 da 0 fosse pura assurdità. René Descartes li chiamavanumeri falsi(fausses racines). Gottfried Wilhelm Leibniz, il co-inventore del calcolo infinitesimale, ammetteva che fossero utili ma non era del tutto convinto che esistessero davvero.

Ci è voluto quasi un millennio perché un’idea passasse dall'”impossibile” all'”ovvio”. E non è un caso: ogni generazione di matematici ha dovuto imparare a fidarsi di qualcosa che non si poteva vedere, toccare o contare nel senso tradizionale del termine.

Lo zero: il numero più difficile da inventare

Prima ancora di accettare i numeri negativi, l’umanità ha faticato enormemente con un altro numero che oggi sembra banale: lo zero.

I greci, che pure erano matematici straordinari, non avevano un simbolo per lo zero. Non perché fossero incapaci, ma perché per loro lo zero non era un numero: era l’assenza di numero. E l’assenza, filosoficamente, non si conta.

Sono stati ancora una volta i matematici indiani a fare il passo decisivo. Brahmagupta, lo stesso che aveva lavorato sui numeri negativi, definì lo zero come il risultato della sottrazione di un numero da se stesso. Non solo: scrisse le regole per operare con esso. Sommarlo non cambia nulla. Moltiplicarlo dà sempre zero.

Ma c’era un problema che nemmeno lui riuscì a risolvere: quanto fa un numero diviso zero? Brahmagupta scrisse che il risultato è zero diviso zero, il che non è corretto. Quella domanda è rimasta aperta per secoli, e la risposta moderna “la divisione per zero non è definita” ha richiesto l’invenzione di strumenti matematici molto più sofisticati.

Lo zero oggi sembra il più semplice di tutti i numeri. Ma la sua storia ci ricorda che nessun concetto matematico è mai “naturale” nel senso di spontaneo: ogni numero è il risultato di una scelta intellettuale, spesso dolorosa e contrastata.

I numeri interi: una famiglia allargata

Quando uniamo i numeri naturali con i loro “opposti” negativi — e aggiungiamo lo zero — otteniamo l’insieme deinumeri interi:

… −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 …

Si scrivono con la letteraℤ, che viene dal tedescoZahlen, che significa semplicemente “numeri”. La notazione si è consolidata tra il XIX e il XX secolo, con la progressiva formalizzazione della teoria degli insiemi che ha reso necessario un simbolo univoco per ciascun insieme numerico.

La cosa bella — e non è solo una questione estetica — è che questo insieme è perfettamente simmetrico. Per ogni numero positivo esiste il suo specchio negativo, e al centro, come punto di equilibrio assoluto, c’è lo zero. La retta dei numeri, che prima andava solo verso destra, ora si estende in entrambe le direzioni, all’infinito da ogni parte.

Questa simmetria non è decorativa: ha conseguenze matematiche profonde. Significa che l’insieme dei numeri interi è chiuso rispetto alla sottrazione, cioè che sottraendo un intero da un altro intero ottieni sempre un intero. Non esiste un “3 − 5” che sfugge all’insieme. La risposta c’è, ed è −2.

I numeri naturali non godono di questa proprietà. Con i naturali, la sottrazione può portarti fuori dall’insieme. Con gli interi, sei sempre al sicuro.

Dove li troviamo, ogni giorno

I numeri interi non sono solo un’invenzione della matematica pura. Li usiamo continuamente, spesso senza accorgercene.

La temperatura in inverno scende sotto zero: un numero negativo che senti nel meteo ogni mattina. Il saldo di un conto corrente può essere negativo se si spende più di quello che si ha: le banche lo chiamano “scoperto”, ma il numero che compare nello schermo è semplicemente un intero negativo. In un videogioco, i punti possono essere sottratti e portarti in negativo. In fisica, le cariche elettriche sono fondamentali per capire come funziona un atomo: l’elettrone ha carica negativa, il protone positiva, il neutrone nulla, e quando i fisici le rappresentano con numeri, usano interi con segno, perché il segno non è un dettaglio, è la sostanza.

In geografia, l’altitudine del Mar Morto è circa −430 metri rispetto al livello del mare. Non significa che il Mar Morto non esiste: significa che è più in basso del punto che abbiamo scelto come riferimento. I numeri negativi, in fondo, descrivono sempre una posizione relativa: sotto rispetto a un punto di partenza, prima rispetto a un momento dato, in debito rispetto a una quantità di partenza.

Anche nel calendario usiamo gli interi senza pensarci. Nel sistema astronomico degli anni — quello che, a differenza del calendario giuliano, include uno zero — l’anno 44 a.C., quello dell’assassinio di Giulio Cesare, corrisponde all’anno −43. Un numero negativo che porta con sé tutta la distanza dal nostro punto di riferimento convenzionale. Dunque ogni volta che dici “meno qualcosa”, stai usando un numero che per millenni non aveva nome.

Perché questa storia riguarda anche te

La matematica che studi a scuola sembra sempre esistita. Numeri naturali, zero, interi: sembrano ovvi, scontati, come se fossero stati lì dall’inizio del mondo, scritti nell’universo prima ancora che qualcuno li scoprisse.

Non è così. Ogni insieme di numeri è stato inventato — o scoperto, a seconda di come la si vuole vedere — per rispondere a un bisogno che il sistema precedente non riusciva a soddisfare. I naturali servivano per contare. Gli interi sono serviti per sottrarre senza limiti e per rappresentare grandezze che possono essere negative rispetto a un punto di riferimento.

E la storia non finisce con gli interi. Esistono altri insiemi di numeri, costruiti per rispondere ad altre domande che sembravano impossibili. I numeri razionali — le frazioni — per dividere senza resti. I numeri irrazionali per misurare la diagonale di un quadrato (che non è mai una frazione esatta, per quanto ci si provi). I numeri reali per coprire tutta la retta continua. E poi i numeri immaginari, inventati per risolvere equazioni che “non dovrebbero avere soluzione” e che invece l’hanno, se si è disposti ad ampliare ancora una volta l’idea di cosa sia un numero.

Ogni volta in cui la matematica ha incontrato un problema senza risposta, non si è fermata: ha inventato i numeri che mancavano.E quella capacità di non fermarsi davanti all’impossibile — di chiedersi “e se esistesse un numero che risolve questo?” — è forse la cosa più bella che la matematica abbia mai insegnato.