Dalle favole alla matematica: il gioco dell’astrazione

Si racconta che una volpe spinta dalla fame, giunse un giorno in un vigneto e vide dei grappoli di uva che pendevano grossi, dolci e succosi dai tralci di una vite. «Uva?» esclamò la volpe «Come sarebbe bello poterne assaggiare un po’: quest’uva è proprio attraente». E così detto si alzò sulle zampe posteriori e saltò con agilità per afferrare un grappolo, ma, non riuscì a raggiungerlo.

Allora si allontanò di qualche metro per prendere la rincorsa e provò ancora, con tutte le sue forze. Ma ancora nulla. Riprovò dunque più e più volte, sempre più ostinata. I grappoli d’uva rimanevano lì, intatti e irraggiungibili e, a causa della fatica che la stremava dopo i ripetuti infruttuosi tentativi, sembravano persino allontanarsi, quasi volessero farle dispetto.

«Cra! Cra! Cra!» rideva dall’alto di un ramo una cornacchia, prendendosi gioco di lei.

Al sentirla, la volpe fu presa da una forte rabbia. Ma, per non darla a vedere alla cornacchia, gonfiò il petto, si diede un contegno, ed esclamò: «Quest’uva non è matura! Poco importa se non riesco ad afferrarla. Non voglio coglierla così acerba!» E se ne andò, bruciante di delusione e con la pancia vuota.

Questa favola ha duemilacinquecento anni: il primo a raccontarcela è Esopo, seguito poi dal latino Fedro e nel ‘600 dal francese La Fontaine. Nonostante il tempo, è ancora qui: intatta, puntuale come un teorema. Non perché sia bella da leggere — anche se lo è — ma perché parla di qualcosa che riconosciamo all’istante: la reazione di chi non riesce ad afferrare qualcosa e decide che, in fondo, non gli interessava poi così tanto. L’uva non è matura. La colpa non è di chi non è riuscito a raggiungerla, ma è dell’uva, che evidentemente non valeva lo sforzo.

Leggendo questa favola ci si rende conto che essa non è solo la storia di una volpe. È una storia tipicamente umana, in cui ciascuno di noi può riconoscersi: ogni volta che un traguardo sfugge di mano, siamo inclini a trovare una ragione elegante per smettere di desiderarlo. Una giustificazione di comodo. Accade tra ragazzini che si innamorano: quando l’altro non ricambia, si è pronti a dire — a se stessi, prima che agli altri — «vabbè, tanto non ne valeva la pena».

Siamo partiti dunque da un animale affamato e da un grappolo d’uva e siamo arrivati a una morale che attraversa culture, epoche e lingue senza perdere nulla per strada e senza mai cambiare il suo messaggio. Questo è il dono delle favole: portarci in un mondo semplice e immediato per trasmettere qualcosa di più grande, che valeva per i greci contemporanei di Esopo e vale ancora oggi per noi.

Ma come abbiamo fatto a spingere così in là il nostro percorso? Cosa ha fatto sì che la storia di una volpe affamata allargasse così tanto il confine? Cos’è che ha permesso il salto dal particolare al generale, da una volpe a tutti noi? La risposta porta dritta al cuore di come funziona il pensiero nella favola, e in modo sorprendentemente simile, nella matematica.

Favole ed … astrazione

La favola è uno dei generi letterari più antichi del mondo. In poche righe, con animali al posto degli uomini, riesce a dire qualcosa che vale per tutti. Non è magia: è metodo. Attraverso il suo stile semplice la favola parte ogni volta da qualcosa di concreto e specifico — questa volpe, questo grappolo, questo vigneto — e ci spinge a trovare dentro quella scena qualcosa di più grande, che chiunque può riconoscere come proprio, in qualunque epoca, in qualunque lingua.

Questo passaggio si chiama astrazione. Prendere un caso particolare — concreto, circostanziato, irripetibile — e ricavarne una forma che vale in generale. Toglie i nomi, ma tiene la struttura. Sostituisce questa volpe con ogni creatura che desidera qualcosa fuori portata. Sostituisce questo grappolo con ogni obiettivo che si allontana mentre ci avviciniamo. È un gesto sottile, quasi invisibile. Eppure è ciò che trasforma una scenetta di bosco in uno specchio in cui ci riconosciamo tutti.

La matematica fa lo stesso gesto. Da sempre. Prendiamo un classico problema matematico che ogni bambino prima o poi può incontrare nel suo approccio alla matematica: “La mamma torna dal mercato con quindici mele e ne regala quattro alla vicina. Quante gliene restano?”. Il bambino conta, sottrae, trova il risultato: undici! Gli è stata raccontata una storia e lui l’ha completata. Tuttavia col tempo — crescendo, studiando — impara a fare qualcosa di più sottile: dimentica la mamma, dimentica le mele, dimentica il mercato. Tiene solo la relazione tra i numeri. Toglie i particolari della storia ma ne mantiene la struttura, pronto a applicarla ad altri contesti ed in altri spazi.

Nei primi anni di scuola l’insegnamento della matematica è fortemente focalizzato sul caso concreto: fa toccare con mano il meccanismo prima di astrarlo. Ma a mano a mano che si cresce, i libri si svuotano di volpi e leoni e si riempiono di formule e simboli. Il passaggio avviene spesso in modo brusco, tanto da far apparire la matematica come una materia priva di significato. Eppure è proprio ciò che la rende così strana ad essere al contempo il motore della sua potenza: dando spazio alla struttura anziché al contesto, essa diventa utile ovunque. Lo stesso schema descrive come crescono i conigli in un prato e come si diffonde un virus, come aumentano gli interessi su un debito e come si espande una galassia. La matematica non sa nulla di conigli, di virus o di galassie. Sa tutto di quella forma, la riconosce ovunque e su di essa si sviluppa.

Lo stesso gesto, due lingue

Se ci sofferma un attimo, ci si rende conto che c’è qualcosa di notevole nel parallelismo tra il genere letterario della favola e la matematica. Essi sono due mondi apparentemente lontanissimi — una usa la fantasia, l’altra numeri e formule — che compiono esattamente lo stesso gesto. Partono dal particolare. Cercano l’universale. E quando lo trovano, lo conservano in una forma che chiunque può riconoscere, in qualunque tempo, in qualunque lingua.

La favola usa gli animali come maschere: toglie i nomi propri, lascia i caratteri. La volpe non è una volpe: è chiunque abbia mai desiderato qualcosa di irraggiungibile e abbia trovato un modo elegante per smettere di volerlo. Sostituisci la volpe con un collega, con un vecchio amico, con te stesso, e la storia può continuare a regge. Il contesto cambia, ma la sua dinamica rimane inalterata.

La matematica dal canto suo, usa i simboli come maschere: toglie le mele, lascia le relazioni. Quando scrivi 15 − 4 = 11, non stai più parlando di mele. Stai parlando di qualcosa che vale per le mele, ma anche per i minuti, per i chilometri, per le stelle. Il simbolo non si ricorda di dove viene. Lavora in qualunque contesto perché prescinde da esso.

Come le favole di Esopo, come un mito greco, come un proverbio che nessuno ricorda più chi l’abbia detto per primo, la matematica attraversa i secoli e i confini senza perdere nulla.

Forse è per questo che, davanti a una favola o a un’equazione, dovremmo provare la stessa sensazione: quella di riconoscere qualcosa che non avevamo mai visto, ma che in qualche modo sapevamo già. Se imparassimo a leggere la matematica come si legge una favola, cercando non la risposta giusta, ma la struttura nascosta, forse riusciremmo a capirla e ad apprezzarla di più. L’astrazione — che sia di Esopo o di Eulero — non inventa: rivela.