Pearson, Spearman e la trappola della correlazione: come misurare senza fraintendere

Nel mondo della ricerca, poche frasi vengono ripetute quanto questa:correlation does not imply causation. Eppure, nella pratica quotidiana, la distinzione tra correlazione e causalità viene ignorata con una frequenza sconcertante — nei paper, nelle presentazioni, persino nei titoli dei giornali. Non per malafede intendiamoci, ma per abitudine e per una formazione che spesso insegna a calcolare la correlazione senza spiegare cosa significa davvero trovarla.

In questo articolo voglio fare due cose insieme: spiegare cos’è la correlazione e come si misura — con i due strumenti più classici, corrlazione di Pearson e Spearman — e ricordare perché la correlazione, da sola, non basta mai.

Cos’è la correlazione e cosa non è

La correlazione misura il grado in cui due variabili si muovono insieme. Se all’aumentare di una variabile tende ad aumentare anche l’altra, parliamo di correlazione positiva. Al contrario, se al crescere di una variabile l’altra diminuisce, allora si parla di correlazione negativa. Infine, se non c’è nessun legame sistematico, ossia le due variabili si muovono senza una qualche tendenza coordinata, allora le variabili si dicono non correlate.

Il coefficiente di correlazione – ossia la quantità che ci dice come stanno le cose – è un numero che va da -1 a +1. Il valore assoluto – ossia il numero senza il segno – indica la forza della relazione, il segno indica la direzione. Un coefficiente di +1 è una correlazione perfettamente positiva — ogni volta che una variabile sale, l’altra sale esattamente nella stessa misura. Se il coefficiente è 0, ciò significa che non vi è alcuna relazione lineare. Un coefficiente di -1 è una correlazione perfettamente negativa.

Fin qui, tutto chiaro. Il problema nasce un passo dopo: quando si usa la correlazione per sostenere un nesso causale tra due eventi.

Prendiamo un esempio. Il numero di gelati venduti e i casi di annegamento sono correlati: aumentano entrambi d’estate. Tuttavia, questa correlazione non genera un nesso causale; infatti dire che sono correlati non significa che mangiare gelati faccia annegare le persone. Significa che c’è una terza variabile, il caldo, che guida entrambi.

Questa terza variabile in ricerca si chiamavariabile confondente; essa è il motivo per cui la correlazione, da sola, non stabilisce mai una causa.

Come misura la correlazione tra due variabili?

Esistono due approcci principali: il coefficiente di Pearson e il coefficiente di Spearman. Misurano lo stesso fenomeno, ma con logiche di calcolo e ambiti di applicazione profondamente diversi; scegliere quello sbagliato non è un dettaglio tecnico, è un errore di metodo.

Pearson: lo strumento classico per le relazioni lineari

Il coefficiente di correlazione di Pearson è la misura più nota. Si usa quando la relazione tra due variabili è lineare — cioè quando può essere rappresentata approssimativamente da una retta, e al crescere di un valore si osserva la crescita proporzionale dell’altro — e quando i dati soddisfano alcune condizioni: distribuzione approssimativamente normale, assenza di outlier influenti, varianza omogenea.

Un esempio concreto: altezza e peso. Se calcolando il coefficiente di Pearson ottengo r = 0.85, posso dire che esiste una forte correlazione positiva — generalmente, all’aumentare dell’altezza aumenta anche il peso. Se ottengo r = -0.75 tra sigarette fumate al giorno e capacità polmonare, la correlazione negativa mi dice che all’aumentare delle sigarette la capacità tende a diminuire.

Il coefficiente di correlazione di Pearson è di ampia applicazione, ma non è adatto a tutte le situazioni. Il suo limite principale è l’assunzione di linearità: se le variabili sono legate in modo non lineare — cioè se la relazione tra loro non segue un andamento costante e proporzionale, ma cambia direzione o intensità al variare dei valori — il coefficiente può avvicinarsi a zero anche in presenza di una relazione forte. Un esempio classico è data dalla correlazione tra ore di snno e prestazioni cognitive. Quello che si sa dalla scienza è che le prestazioni cognitive migliorano con le ore di sonno, ma solo fino a un certo punto, oltre le nove ore tendono a peggiorare. La relazione tra le due variabili – prestazioni cognitive e ore di sonno – esiste ed è robusta, ma non è lineare, e la correlazione di Pearson non la cattura bene.

Un’altra limitazione importante riguarda gli outlier — i valori estremi che si discostano significativamente dal resto dei dati. La loro presenza può distorcere il coefficiente di Pearson in modo considerevole, portando a sovrastimare o sottostimare la forza della relazione e rendendo il risultato inaffidabile.

Spearman: robustezza e flessibilità

Il coefficiente di Spearman — indicato con rho o ρ — è l’alternativa non parametrica a Pearson. La differenza fondamentale tra le due correlazioni sta nel modo in cui Spearman tratta i dati: invece di lavorare sui valori assoluti come fa Pearson, essa lavora sui ranghi, ovvero sull’ordine relativo delle osservazioni. In pratica, ogni valore viene sostituito dalla sua posizione nella graduatoria — il valore più basso diventa 1, il secondo più basso diventa 2, e così via. Questo passaggio rende il coefficiente molto meno sensibile ai valori estremi e applicabile anche quando i dati non seguono una distribuzione normale.

La correlazione di Spearman è la scelta giusta quando la relazione è monotona ma non lineare, cioè quando una variabile cresce sempre quando cresce l’altra, ma non necessariamente in modo proporzionale. Funziona con dati ordinali, non richiede la normalità delle distribuzioni, ed è molto più robusta in presenza di outlier.

Un contesto di ampio utilizzo è quello delle scale di misurazione soggettiva, come la scala Likert — usata nei questionari per raccogliere risposte su un continuum da “fortemente in disaccordo” a “fortemente d’accordo” — o la scala VAS, Visual Analogue Scale, quella che si usa in ambito clinico per misurare ad esempio, l’intensità del dolore. In entrambi i casi i dati sono ordinali, non quantitativi continui: sappiamo che 4 viene dopo 3, ma non che la distanza tra 3 e 4 sia uguale a quella tra 4 e 5. Usare la correlazione di Pearson in questi contesti violerebbe le sue assunzioni di base. Al contrario, la correlazione di Spearman, lavorando sui ranghi, non ha questo problema.

Quando usare l’uno e quando l’altro

Nello studio sulla relazione tra ore di sonno e prestazioni cognitive, se i dati mostrano una relazione lineare — più si dorme, migliori sono le prestazioni — Pearson è appropriato. Se il legame è monotono ma non lineare (come avviene in realtà) — le prestazioni migliorano fino a sette ore di sonno, poi si stabilizzano — Spearman fornisce un quadro più fedele.

Il punto che non si può saltare: la causalità

Voglio tornare su questo, perché è il punto che più spesso viene sottovalutato — a volte anche da ricercatori esperti.

Due variabili possono essere correlate per almeno tre ragioni diverse: perché una causa l’altra, perché entrambe sono causate da una terza variabile, oppure perché la correlazione è spuria — una coincidenza statistica senza nessun legame reale. Nella pratica quotidiana della ricerca, distinguere tra questi tre casi è molto più difficile di quanto sembri. E le conseguenze di sbagliare non sono trascurabili.

L’esempio che preferisco per spiegare questo concetto viene dalle pagine del prestigiosoNew England Journal of Medicine. Nel 2012,Franz H. Messerli, cardiologo alla Columbia University, pubblicò una breve nota con una scoperta apparentemente straordinaria: nei paesi con maggior consumo di cioccolato pro capite, ci sono più premi Nobel per abitante¹. La correlazione era reale, il coefficiente robusto. L’ipotesi di Messerli era che i flavanoli contenuti nel cacao potessero migliorare le funzioni cognitive non solo nei singoli individui, ma a livello di intera popolazione.

L’articolo era pubblicato in una sezione riservata a contributi dal tono più leggero — una sorta di rubrica delle curiosità scientifiche. Messerli stesso, nelle note a piè di pagina, dichiarava di consumare cioccolato regolarmente, preferibilmente Lindt fondente. Ma molti lettori non colsero il carattere ironico della nota. Titoli entusiasti comparvero su giornali e blog di tutto il mondo: il cioccolato fa vincere premi Nobel. I ricercatori più scettici risposero mostrando che, con lo stesso metodo, si poteva dimostrare una correlazione altrettanto robusta tra il numero di negozi IKEA in un paese e i suoi premi Nobel. La correlazione era reale anche in quel caso. La causalità, ovviamente, no.

Ma la storia ha un secondo atto, ancora più istruttivo. Uno studio del 2020 ha ripreso i dati di Messerli per smontarli con gli strumenti giusti: un modello statistico più sofisticato, controllando per PIL pro capite, spesa in ricerca e sviluppo, articoli scientifici pubblicati, consumo di caffè e tabacco². Il risultato è paradossale: la correlazione persiste. Non perché la causalità sia in dubbio — su questo c’è pieno consenso — ma perché il modello probabilmente non cattura ancora tutte le variabili confondenti in gioco. Il cioccolato è semplicemente un indicatore del tenore di vita: i paesi ricchi mangiano più cioccolato e investono di più in ricerca. GDP e premi Nobel correlano entrambi con il consumo di cioccolato, e questo basta a mantenere la correlazione viva anche nei modelli più raffinati. E questo apre l’argomento per un nuovo articolo: smontare una correlazione spuria può richiedere più lavoro di quanto si pensi.

Il cioccolato molto probabilmente non fa vincere premi Nobel. Ma la statistica, da sola, non è ancora riuscita a dimostrarlo in modo definitivo. E questo dovrebbe dirci qualcosa su quanto sia difficile — e quanto sia importante — distinguere tra associazione e causa. Per stabilire un nesso causale servono strumenti diversi: un disegno sperimentale controllato, oppure metodi statistici specifici come difference-in-differences, regressione discontinua o analisi di mediazione. La correlazione tra due variabili apre una domanda. Non la risponde.

La prossima volta che leggi: “Lo studio dimostra che X causa Y”, chiediti: Lo dimostra davvero o mostra solo che X e Y vanno nella stessa direzione?

In sintesi:usa Pearson con dati quantitativi continui, distribuiti normalmente, in assenza di outlier importanti e quando ti aspetti una relazione lineare. Scegli Spearman con dati ordinali, relazioni non lineari ma monotone, o in presenza di outlier. In entrambi i casi, ricorda che stai misurando un’associazione — non stai dimostrando una causa.

Il prossimo passo naturale è affiancare alla correlazione un’analisi diregressione— per esplorare non solo l’associazione, ma anche la prevedibilità tra variabili. Ma questa è un’altra storia.

1. Messerli, F. H. (2012). Chocolate consumption, cognitive function, and Nobel laureates.New England Journal of Medicine, 367(16), 1562–1564.https://doi.org/10.1056/NEJMon1211064↩︎
2. Prinz, A. (2020). Chocolate consumption and Nobel laureates.SSM — Population Health, 12, 100656.https://doi.org/10.1016/j.ssmph.2020.100656↩︎