La distribuzione t di Student: quando il campione è piccolo

C’è un momento, nella vita di chi analizza dati, in cui ci si trova con poche osservazioni e una domanda difficile. Questi dati sono abbastanza per trarre una conclusione? Un medico che testa un nuovo farmaco su dodici pazienti. Un agronomo che confronta due varietà di grano su otto appezzamenti. Un biologo che misura la concentrazione di un enzima in un campione di dieci soggetti. I dati sono quelli che sono, non si possono aumentare per desiderio, e chi fa statistica deve saper lavorare anche così.

La distribuzione normale, lo strumento d’elezione per l’inferenza statistica, funziona bene quando il campione è grande. Ma quando le osservazioni sono poche, affidarsi alla distribuzione normale produce conclusioni troppo ottimistiche: sottostima l’incertezza, stringe artificialmente gli intervalli di confidenza, porta a credere di sapere più di quanto i dati effettivamente permettono. Serve  pertanto uno strumento che tenga conto della piccola dimensione del campione: uno strumento che sia onesto sull’incertezza. Questo strumento si chiamadistribuzione t di Studente nasce da una storia che vale la pena raccontare.

Gosset e la birra di Dublino

All’inizio del Novecento, William Sealy Gosset lavorava come statistico per la Guinness, la grande birreria irlandese. Il suo compito era analizzare la qualità dell’orzo e del luppolo, confrontare varietà diverse, valutare l’effetto di piccole variazioni nel processo produttivo sulla qualità finale della birra. Il problema era che i campioni disponibili erano sempre piccoli: non si poteva permettere di sprecare intere coltivazioni per fare statistica ed i lotti di prova erano necessariamente ridotti.

Gosset si trovò di fronte a una lacuna concreta: la teoria statistica del tempo — dominata dal lavoro di Karl Pearson e basata sulla distribuzione normale — funzionava bene per campioni grandi, ma non offriva strumenti affidabili per i campioni piccoli con cui lui lavorava ogni giorno. Decise allora di colmarla da solo. Derivò matematicamente la distribuzione che descrive il comportamento della media campionaria quando il campione è piccolo e la varianza della popolazione è sconosciuta, che è esattamente la situazione tipica della ricerca applicata.

La Guinness aveva una politica di riservatezza sui metodi statistici usati internamente, e Gosset pubblicò il suo risultato nel 1908 sotto lo pseudonimo Student, da cui il nome della distribuzione t di Student. L’articolo apparve su Biometrika e passò inizialmente quasi inosservato. Fu Karl Pearson prima, e poi soprattutto Ronald Fisher, a riconoscerne l’importanza e a integrare la distribuzione t nel corpus della statistica moderna. Quella che era nata come soluzione a un problema di birra è diventata uno degli strumenti più usati nella ricerca scientifica di tutto il Novecento.

Il problema della varianza sconosciuta

Per capire perché la distribuzione t esiste, bisogna capire il problema che risolve. Quando si vuole fare inferenza sulla media di una popolazione — per esempio, stimare il livello medio di colesterolo in una certa popolazione o verificare se un trattamento modifica la pressione arteriosa — si usa tipicamente la media campionaria come stima della media vera.

Per costruire un intervallo di confidenza o fare un test statistico, serve però sapere quanto è variabile questa stima, ossia quanto potrebbe cambiare se si ripetesse il campionamento. Questa variabilità dipende dalla varianza della popolazione: quanto i valori individuali si disperdono intorno alla media. Il problema è che nella quasi totalità dei casi reali la varianza della popolazione non è nota. Va stimata dai dati stessi usando la varianza campionaria.

Quando il campione è grande, questa sostituzione introduce un’incertezza trascurabile: la varianza campionaria è una stima molto precisa della varianza vera e la distribuzione normale descrive bene il comportamento della media campionaria standardizzata. Ma quando il campione è piccolo — diciamo meno di trenta osservazioni, anche se il confine non è netto — la varianza campionaria stessa è una stima incerta e questa incertezza si propaga. La media campionaria standardizzata non segue più esattamente una distribuzione normale. Ha code più pesanti, il che significa che i valori estremi sono più probabili di quanto la normale suggerirebbe.

Ignorare questo fatto, ossia usare la normale anche con campioni piccoli, porta a intervalli di confidenza troppo stretti e a p-value troppo bassi: si conclude che un effetto è significativo quando in realtà l’incertezza è troppo grande per poterlo affermare. La distribuzione t di Student corregge questo problema in modo esatto. Descrive la distribuzione della media campionaria standardizzata quando la varianza è stimata dal campione, tenendo conto dell’incertezza aggiuntiva introdotta da questa stima.

La forma della distribuzione t e i gradi di libertà

La distribuzione t ha una forma a campana simmetrica, come la normale, ma con code più pesanti. Questo significa che assegna più probabilità ai valori lontani dalla media rispetto alla normale, un modo formale per dire che, con campioni piccoli, i valori estremi sono più plausibili di quanto si potrebbe pensare.

La caratteristica più importante della distribuzione t è che dipende da un parametro chiamato gradi di libertà, che in questo contesto vale n meno uno, dove n è la dimensione del campione. I gradi di libertà controllano la forma della distribuzione. Con pochi gradi di libertà — cioè con campioni molto piccoli — le code sono molto più pesanti della normale. Man mano che i gradi di libertà aumentano, la distribuzione t si avvicina progressivamente alla normale standard. Con trenta o più gradi di libertà la differenza è già trascurabile in pratica e i due strumenti producono risultati quasi identici.

Il concetto di gradi di libertà merita una spiegazione intuitiva. Quando si stima la varianza campionaria da un campione di n osservazioni, si usa la media campionaria,  che è essa stessa una stima calcolata dagli stessi dati. Questo vincolo interno riduce di uno l’informazione disponibile in quanto non tutte le n deviazioni dalla media sono libere di variare in modo indipendente perché devono soddisfare il vincolo che la loro somma sia zero. Restano quindi n meno uno gradi di libertà e la distribuzione t con n meno uno gradi di libertà riflette esattamente questa perdita di informazione.

Il test t: come si usa nella pratica

La distribuzione t è il fondamento del test t, uno dei test statistici più utilizzati nella ricerca biomedica e nelle scienze applicate. Esistono diverse varianti, ognuna adatta a una struttura di dati diversa.

Il test t per un campione verifica se la media di una popolazione è uguale a un valore di riferimento specificato. Per esempio: la concentrazione media di un biomarcatore in un gruppo di pazienti è diversa dal valore considerato normale nella popolazione sana? Si calcola la media campionaria, la si standardizza usando la deviazione standard campionaria e la dimensione del campione e si confronta il risultato con la distribuzione t appropriata per ottenere il p-value.

Iltest t per due campioni indipendenticonfronta le medie di due gruppi distinti. È lo strumento classico per confrontare un gruppo trattato con un gruppo di controllo in uno studio sperimentale. I pazienti che hanno ricevuto il farmaco hanno una pressione arteriosa media diversa da quelli che hanno ricevuto il placebo? Esistono due versioni di questo test. Quella che assume varianze uguali nei due gruppi e quella che non lo assume, il test di Welch, più robusto quando le varianze sono diverse e generalmente preferibile nella pratica.

Il test t per campioni appaiati è usato quando le due misurazioni sono collegate, tipicamente la stessa persona misurata prima e dopo un intervento. Confrontare la pressione di venti pazienti prima e dopo un trattamento è un problema di campioni appaiati. Le due misurazioni non sono indipendenti e ignorare questa struttura produce risultati meno precisi. Il test appaiato lavora sulle differenze individuali — per ogni soggetto calcola quanto è cambiata la misurazione — e testa se la media di queste differenze è diversa da zero.

Le assunzioni da rispettare

Come ogni strumento statistico, il test t si appoggia su alcune assunzioni. La più importante è la normalità della distribuzione dei dati nella popolazione o più precisamente della distribuzione della media campionaria. Con campioni grandi, il teorema del limite centrale garantisce che la distribuzione della media campionaria si avvicini alla normale indipendentemente dalla distribuzione dei dati originali. Con campioni piccoli questa garanzia non c’è, e la normalità dei dati diventa un’assunzione concreta che va verificata.

Nella pratica, il test t è noto per essere abbastanza robusto a deviazioni moderate dalla normalità, specialmente con campioni non troppo piccoli. Ma con campioni molto piccoli e distribuzioni marcatamente asimmetriche o con outlier estremi, l’assunzione di normalità può essere violata in modo sufficientemente grave da compromettere l’affidabilità del test. In questi casi si considerano alternative non parametriche — il test di Wilcoxon per un campione o per campioni appaiati, il test di Mann-Whitney per due campioni indipendenti — che non richiedono l’assunzione di normalità ma hanno in genere meno potenza statistica quando la normalità è soddisfatta.

Per il test t a due campioni indipendenti, si assume inoltre che le osservazioni siano indipendenti sia all’interno di ciascun gruppo sia tra i gruppi. Se i dati hanno una struttura di dipendenza — misurazioni ripetute, soggetti raggruppati per centro clinico, famiglie — questa assunzione è violata e servono modelli più adeguati. Infine, come detto sopra, la questione dell’uguaglianza delle varianze tra i due gruppi va affrontata. Il test di Welch è oggi generalmente preferito perché non richiede questa assunzione e si comporta bene sia quando le varianze sono uguali sia quando non lo sono.

Leggere un risultato del test t

L’output di un test t include tipicamente la statistica t — il valore calcolato dal campione — il numero di gradi di libertà, il p-value e l’intervallo di confidenza per la differenza tra le medie. Ognuno di questi elementi porta informazione diversa e complementare.

La statistica t è il rapporto tra la differenza osservata — tra la media campionaria e il valore di riferimentol o tra le medie dei due gruppi — e la stima dell’errore standard di quella differenza. Più è grande in valore assoluto, più i dati sono lontani da quello che ci si aspetterebbe se non ci fosse alcun effetto. Il p-value traduce questa distanza in una probabilità: la probabilità di osservare una statistica t almeno altrettanto estrema se l’ipotesi nulla fosse vera. Un p-value piccolo segnala che i dati sono poco compatibili con l’ipotesi nulla, ma, attenzione, non afferma che l’ipotesi alternativa è vera con certezza.

L’intervallo di confidenza per la differenza tra le medie è spesso la quantità più informativa. Un intervallo di confidenza al novantacinque per cento che non contiene lo zero indica un risultato statisticamente significativo al cinque per cento, ma dice anche qualcosa di più. Mostra l’ampiezza plausibile dell’effetto. Un intervallo stretto segnala una stima precisa; un intervallo largo segnala incertezza residua, anche quando il risultato è formalmente significativo. Leggere l’intervallo di confidenza insieme al p-value è sempre più informativo che leggere il p-value da solo.

La distribuzione t di Student è la risposta statistica all’onestà intellettuale.Quando i dati sono pochi, l’incertezza è maggiore e serve uno strumento rigoroso per riflettere questa situazione.Non restringere artificialmente le code della distribuzione quando il campione non lo giustifica, non promettere più precisione di quanta i dati possano offrire. Gosset lo capì lavorando con lotti di orzo e vasche di birra e quella lezione vale ancora oggi per ogni ricercatore che lavora con campioni piccoli e domande grandi.