Come si legge il simbolo \"|\"?

Il simbolo introdotto nella formula precedente (\"|\") è il simbolo utilizzato in probabilità per indicare il fatto che un evento condiziona un altro, ossia si verifica prima di un altro. In generale in matematica si legge \"dato che\" o \"supposto che\". Esso serve per indicare che un evento si è verificato prima di un altro; specificatamente prima si verifica l’evento a destra (e.g., nel caso in esame è il risultato del primo lancio, ossia il numero 4) e poi l’evento a sinistra (e.g, la somma dei due dadi è 10). La formula [math] P(10|4) [/math] sta ad indicare che la probabilità [math] P [/math] del verificarsi del numero 10 deve essere calcolata alla luce di una condizione già occorsa (rappresentata dalla barra verticale [math] \"|\" [/math]), ossia il verificarsi del numero 4. Dunque la scritta [math] P(10|4) [/math] si legge: \"Probabilità che si verifichi il risultato dell'esperimento sia 10 dato che si è già verificato il numero 4\". Come detto sopra il verificarsi del numero 4 non è contestuale al verificarsi del risultato totale dell’esperimento – somma pari a 10 – ma è un evento che si verifica prima del lancio del secondo dado e che condiziona la probabilità del risultato dell’esperimento.

Consideriamo un mazzo di 52 carte (13 carte di cuori, 13 carte di quadri, 13 carte di picche e 13 carte di fiori). Qual è la probabilità di estrarre una carta di cuori sapendo che è stata estratta una carta che appartiene ad un seme rosso (cuori o picche)?

Soluzione Step 1: Definiamo gli eventi Evento A: carta di seme rosso Evento B: carta di cuori Step 2: Richiamare la formula della probabilità condizionata [math] P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} [/math]. Step 3: Calcolare le due probabilità Calcolare [math] P(A \cap B) [/math] significa calcolare [math] P \{(\text{carta di seme rosso}) \cap (\text{carta di cuori})\} [/math]. Poiché nel mazzo ci sono 26 carte di seme rosso e 13 di queste sono di cuori, abbiamo che: [math] P (A \cap B) = \frac{13}{52} [/math]. La probabilità [math] P(A) [/math] è la probabilità di avere una carta di seme rosso. Come appena detto sopra il mazzo contiene 26 carte di seme rosso, per cui la probabilità di estrarre una carta di seme rosso è: [math] P(A) = \frac{26}{52}=\frac{1}{2} [/math]. Step 4: Probabilità condizionata La probabilità di ottenere una carta di cuori sapendo che l’estrazione avviene in carte di seme rosso è: [math] P (B|A) = \frac{\frac{13}{52}}{\frac{1}{2}}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2} [/math].

Approfondimento: [math] P(B|A) = P(A|B) [/math]?

A differenza di quanto avviene nella normale operazione di addizione o di moltiplicazione, nel caso della probabilità condizionata non vale la proprietà commutativa, ossia non è vero che: [math] P(B|A) = P(A|B) [/math]. La motivazione di ciò è da rintracciarsi nel concetto stesso di probabilità condizionata. Dalla definizione vista sopra sappiamo che [math] P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}[/math], ossia calcoliamo la probabilità che [math] B [/math] si verifichi nel sottoinsieme dello spazio campione in cui [math] A [/math] si è verificato. Analogamente, accade che [math] P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}[/math] misura la probabilità che [math] A [/math] accada nel sottoinsieme dello spazio campionario di [math] B [/math]. Ne deriva che la differenza tra le due formule risiede nei loro denominatori in quanto, generalmente, la loro probabilità è differente, per cui anche [math] P(B|A) [/math] e [math] P(A|B) [/math] saranno differenti.

Supponiamo che un ospedale stia raccogliendo dati dei pazienti per capire se vi è un possibile collegamento tra presenza di febbre a 38°C e la positività ad uno specifico test (a) e se la febbre a 38° è sempre collegata alla presenza di mal di gola (b).Per comodità usiamo le seguenti notazioni:- Evento A: febbre ad almeno 38°C- Evento B: test positivo ad uno specifico virus- Evento C: mal di gola.Dai dati raccolti dall’ospedale sappiamo che:- il 30% dei pazienti ha febbre ad almeno 38° C, per cui [math] P(A) = 0.30 [/math]- il 20% dei pazienti è positivo al test, per cui [math] P(B) = 0.20 [/math]- il 40% dei pazienti ha mal di gola, per cui [math] P(C) = 0.40 [/math]- il 5% dei pazienti ha febbre ed è risultato positivo al test, per cui [math] P(A cap B) = 0.05 [/math];- il 12% dei pazienti ha sia febbre che mal di gola, per cui [math] P(A cap C) = 0.12 [/math].

Soluzione Per trovare la soluzione ai due quesiti (a) e (b) dobbiamo comprendere se gli eventi sono tra loro indipendenti. Questo significa che per il quesito (a) dobbiamo capire se l’evento [math] A [/math] è indipendente dall’evento [math] B [/math] e per il quesito (b) dobbiamo capire se l’evento [math] A [/math] è indipendente dall’evento [math] C [/math]. a) [math] A [/math] e [math] B [/math] sono indipendenti? Per controllare che i due eventi sono indipendenti dobbiamo provare che: [math] P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B) [/math]. Dalle informazioni riportate sopra risulta che: [math] P(A) \cdot P(B) = (0.30) \cdot (0.20) = 0.06 [/math] [math] P(A \cap B) = 0.5 [/math] per cui, poiché [math] P(A \cap B)\neq P(A) \cdot P(B) [/math] allora i due eventi non sono indipendenti, ossia la probabilità di un paziente di essere positivo al test aumenta nel caso in cui il paziente abbia febbre. b) [math] A [/math] e [math] C [/math] sono indipendenti? In modo analogo è possibile dimostrare che i due eventi [math] A [/math] e [math] C [/math] sono indipendenti, in quanto [math] P(A) \cdot P(C) = (0.30) \cdot (0.40) = 0.12 [/math] [math] P(A \cap C) = 0.12 [/math] Ciò significa che la presenza di febbre non comporta necessariamente mal di gola e viceversa in quanto il verificarsi di un evento non altera la probabilità di verificarsi dell’altro evento.

Teoria della probabilità: probabilità condizionata e regola moltiplicativa

La probabilità condizionata è uno dei concetti centrali della teoria della probabilità. Essa consente di calcolare la probabilità di un evento alla luce del verificarsi di un altro precedente evento. Questo tipo di calcolo è particolarmente utile quando si ha a disposizione una conoscenza parziale delle condizioni sperimentali, ossia quando si conosce la probabilità che un evento antecedente si sia verificato e si vuole determinare come questa informazione influenzi la probabilità di un evento successivo. Partendo dal classico esperimento di lancio di due dadi, ti fornirò la definizione di probabilità condizionata ed apprenderai come si calcola e . . .

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