La media aritmetica è la misura di tendenza centrale più nota dell’intera statistica. Essa rappresenta lo strumento statistico per eccellenza in quanto è semplice da calcolare e da comprendere. Lo scopo di questa lezione è di rivedere i punti essenziali della media aritmetica comprendendone vantaggi e svantaggi.
Misure di tendenza centrale e media aritmetica
La locuzione misura di tendenza centrale appare spesso in ambito biostatistico. Sebbene essa appaia complessa e poco nota ai meno esperti, il suo significato è molto semplice. Con questo termine si intende indicare tutti quegli strumenti statistici di natura descrittiva (i.e., media, mediana, moda) il cui compito è sintetizzare il valore centrale intorno a cui un insieme di dati tende a concentrarsi, sotto forma di numero. Tra tutte le misure di tendenza centrale, la più nota è senza dubbio la media aritmetica.
Consideriamo un dataset contenente osservazioni relative alla variabile Età in un campione di 50 soggetti (Tabella 1).
Tabella 1 – Dataset composto da osservazioni sulla variabile Età di 50 soggetti
IDEtà
185
224
349
448
564
681
762
830
952
1077
1168
1231
1320
1433
1581
1622
1780
1843
1942
2042
2119
2220
2364
2422
2519
2662
2754
2846
2941
3057
3158
3256
3356
3438
3565
3623
3782
3867
3976
4086
4133
4254
4324
4473
4549
4666
4766
4872
4926
5082
La media aritmetica della variabile Età è data dalla somma delle 50 osservazioni (una per ciascun soggetto) divisa per il numero totale delle osservazioni (altresì indicata come numerosità campionaria).
In formule, data la variabile X costituita dalle osservazioni x1, x2, …, xn, la media aritmetica (indicata con x1, x2, …, xn, definito in matematica come x sopra segnato) è data dalla somma delle n osservazioni divisa per il numero totale delle osservazioni (ossia n):
[math] \text{media aritmetica(X)}=(\bar{x})=\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n} [/math]
Formula 1 – Formula Media Aritmetica
Dunque per calcolare la media dell’Età, è sufficiente sommare tutti i valori della variabile Età e poi dividere per la numerosità del campione (n = 50). La formula applicata alla variabile Età diviene dunque:
media aritmetica (Età) = [math]\frac{85+24+…+82}{50}=51.8[/math]
Formula 2 – Applicazione Formula Media Aritmetica al Dataset di Tabella 1
dalla formula si evince che la media aritmetica della variabile Età per il campione di 50 soggetti è pari a 51.8 anni.
Quanto rappresentato nella Formula 1.1 si può presentare in forma più sintetica utilizzando il simbolo di sommatoria ∑. Il risultato è la formula seguente:
[math]\text{media aritmetica(X)}=(\bar{x})=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} [/math]
Formula 3 – Formula Media Aritmetica utilizzando
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