MATHS NOTE: Perchè la moltiplicazione e non l\'addizione?

L’utilizzo della moltiplicazione per calcolare il numero di possibili gruppi deriva dal fatto che per ogni scelta fatta esistono per la scelta successiva più possibilità. Questa è di fatto un’applicazione di un principio matematico che si chiama principio fondamentale del calcolo combinatorio . Secondo tale principio se un primo evento può accadere in m modi diversi ed un secondo evento può accadere in n modi diversi, allora il numero totale in cui entrambi gli eventi si possono verificare è pari a m x n . Facciamo un esempio. Immaginiamo di entrare in un fast food e di dover ordinare un pasto. Il menù presenta 3 possibili tipologie di panino (Hamburger, Chicken burger, Veggie Burger) e 2 opzioni di bibite (Cola e Aranciata). Se contiamo separatamente le possibilità ci sono 3 scelte per il panino e 2 scelte per la bibita. Ma il numero totale di combinazioni possibili non è 3 + 2 = 5, in quanto ogni panino può essere abbinato ad entrambe le bibite, per cui il numero corretto è 3 x 2 = 6. Infatti, le possibili combinazioni sono: Hamburger + Cola; Hamburger + Aranciata; Chicken Burger + Cola; Chicken Burger + Aranciata; Veggie Burger + Cola; Veggie Burger + Aranciata. Se avessimo sommato, non avremmo contato correttamente tutte le possibilità. Ripetendo lo stesso ragionamento per formare sempre raggruppamenti di 4 lettere, ma su un insieme di 6 elementi invece di 5, abbiamo che il numero totale di raggruppamenti è pari a: 6 x 5 x 4 x 3 = 360. E ripetendo ancora per 26 lettere abbiamo che, il numero totale di raggruppamenti è pari a: 26 x 25 x 24 x 23 = 358,800.

MATHS NOTE: Il fattoriale e la forma compatta

Per poter comprendere la seconda parte della formula, richiamiamo uno dei simboli matematici poco noti, il simbolo di fattoriale (!). Questa notazione matematica viene utilizzata per scrivere in modo compatto tutti i prodotti che si generano nel processo di scelta progressiva. Formalmente il fattoriale di un numero positivo n , indicato con n!, è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 ad n . Formalmente si definisce come: [math] n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1 [/math]. Per convenzione si pone 0! = 1. Abbiamo dunque che: [math] 1! = 1 [/math] [math] 2! = 2 \times 1 = 2 [/math] [math] 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 [/math] [math] 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 [/math] [math] 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 [/math]. Nel caso della formula delle disposizioni semplici, il simbolo di fattoriale viene utilizzato per esprimere in modo compatto la notazione [math] n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times (n-k+1) [/math]. Per capire il perchè supponiamo di calcolare la disposizione di 6 oggetti di classe 4, ossia [math] D(6,4) [/math]. Applicando la notazione con il fattoriale abbiamo che: [math] D\left(6,4\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{6!}{\left(6-4\right)!}=\frac{6\times 4 \times 3\times 2\times 1}{2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=6\times 5\times 4\times 3 [/math] Ma se osserviamo bene il valore [math] 6 \times 5 \times 4 \times 3 [/math], esso si può scrivere anche come combinazione di n e k , infatti essendo n = 6 e k = 4, possiamo scrivere: [math] 6\times5\times4\times3=n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\left(n-3\right)=n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\left(n-k+1\right)=n\ \times\left(n-1\right)\times\ldots\times(n-k+1) [/math] Abbiamo dunque trovato la prima forma per le disposizioni semplici. La notazione compatta è preferibile alla forma standard in quanto è più semplice da memorizzare e ci consente di esprimere in pochissimo spazio calcoli complessi. In questo caso la forma compatta ci ricorda che per trovare il numero delle disposizioni semplici è sufficiente, dopo aver scritto la forma compatta, semplificare numeratore e denominatore e poi calcolare il prodotto dei fattori che restano.

Calcolo Combinatorio: Disposizioni

Il calcolo combinatorio è la branca della matematica che studia le tecniche matematiche – chiamate in questo caso leggi di formazione – che servono per contare, organizzare e selezionare gli elementi di un insieme.

Sebbene poco nota tra i non-addetti ai lavori, questa branca della matematica trova applicazione in molteplici ambiti scientifici e tecnologici. Un caso tipico di applicazione del calcolo combinatorio si ha nell’ambito della crittografia - scienza che studia ed applica le tecniche matematiche per proteggere informazioni e comunicazioni da eventuali accessi non autorizzati o attacchi informatici. Attraverso le tecniche del calcolo combinatorio . . .

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